|
его корни A1 =0, A2 = 1. Этот пример иллюстрирует доказанную выше теорему 12 и следствие из неё.
Перейдём к определению основного в этом разделе понятия. Ненулевой вектор b ∈ L называется собственным вектором линейного преобразования A,если
A(b) = Ab,
где A ∈ R. Действительное число A называется собственным значением (или собственным числом). Говорят также, что собственный вектор b относится к собственному значению A.
Замечания. Нулевой вектор собственным не считается, хотя, конечно,
A(0) = A0 = 0.
Если вектор b ∈ L собственный, то Va ∈ R, a = 0 вектор ab тоже является собственным, относящимся к тому же самому собственному значению:
Пример 10 (продолжение). Найдём собственные векторы преобразования, рассмотренного в нашем примере. Так как A(i) = i, то i - собственный вектор, относящийся к собственному значению 1. Так как A(j) = 0, то j — собственный вектор, относящийся к собственному значению 0. Обратим внимание: собственные значения совпали с характеристическими числами A1 =0, A2 = 1. Это не случайное совпадение, так как справедлива
Теорема 13. Действительные корни характеристического многочлена и только они являются собственными значениями линейного преобразования.
Доказательство проведём для случая трёхмерного пространства, т. е. для n = 3.
Пусть A — собственное значение линейного преобразования A. Докажем, что A — корень характеристического многочлена.
Пусть b — собственный вектор A, относящийся к собственному значению A. Зафиксируем в пространстве базис: e1, e2, e3. Тогда ... матрица A в базисе e1, e2, e3.
|
