|
Выполняя умножение матриц, заменяем матричное равенство тремя скалярными (числовыми) равенствами:
Рассмотрим систему уравнений:
Эта однородная система имеет ненулевое решение. Значит, как мы знаем из раздела 3.4, её ранг r < 3, т. е. определитель основной матрицы равен 0:
Транспонирование не меняет величины определителя:
а это означает, что A — характеристическое число.
Обратно, пусть A — характеристическое число. Требуется доказать, что существует вектор, такой, что A(b) = Ab. Проводя приведённые выше рассуждения в обратном порядке, получим, что рассмотренная система уравнений имеет ненулевое решение, которое и является искомым. Теорема доказана.
Пример 11. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования A, заданного в некотором базисе двухмерного линейного пространства матрицей
Решение. Найдём характеристические числа:
Решая квадратное уравнение, получим A1 = 20, A2 = 5. По теореме 13, эти числа и являются собственными значениями преобразования A. Находим собственный вектор для A1 = 20.
|
