|
Ранг системы r = 1, одна неизвестная — свободная. Полагая, например, b2 = 1, найдём e1 = 2. Итак, b = (2,1) — собственный вектор, относящийся к собственному значению 20.
Аналогично находим собственный вектор для A2 = 5.
Вектор (-1, 2) — собственный, относящийся к собственному значению 5.
При изучении какого-либо линейного преобразования иногда удаётся выбрать базис в пространстве так, чтобы матрица преобразования имела наиболее простой вид — была диагональной.
Теорема 14. Линейное преобразование A имеет в базисе e1, e2, ..., en диагональную матрицу ⇔ базис состоит из собственных векторов A.
Доказательство.
Вычислим образы базисных векторов:
...
и так далее. Получим, что все ei — собственные векторы.
Пусть ei — собственный вектор, относящийся к собственному значению Ai. Строим матрицу преобразования как обычно:
|
