диагональная.
Теорема доказана. Однако осталось неясным — для каких же преобразований такой базис существует? Приведём достаточное условие существования базиса из собственных векторов (не являющееся необходимым).
Теорема 15. Собственные векторы, относящиеся к различным собственным значениям, линейно независимы.
Доказательство проведём методом математической индукции. Пусть e1, e2, ..., em — собственные векторы преобразования A, относящиеся к различным собственным значениям A1, A2, ..., Am.
База индукции: при m = 1 теорема справедлива, так как один ненулевой вектор представляет собой линейно независимую систему.
Предположение индукции: будем считать, что для наборов, содержащих менее m собственных векторов, теорема справедлива.
Шаг индукции: докажем, что e1, e2, ..., em линейно независимы. Допустим, что a1e1 + a2e2 + ... + amem = 0. Применим преобразование A:
A(a1e1 + ... + amem) = aiAiei + ... + amAmem = 0. Умножим первое равенство на Am и вычтем из второго:
a1(A1 - Am)ei + a2(A2 - Am)e2 + ... + am-i(Am-i - Am)em-i = 0.
По предположению, e1, e2, ..., em-i линейно независимы, поэтому все коэффициенты здесь равны 0. Но Ai — различны, поэтому..., а это и означает линейную независимость.
Следствие. Если линейное преобразование имеет простой спектр (т. е. все характеристические числа действительны и различны), то существует базис пространства, состоящий из собственных векторов.
3.7. Задачи с решениями
1. В треугольнике ABC сторона BC разделена на 3 равные части точками D1, D2. Выразить векторы D1A, D2A через векторы
Решение. Сделаем чертёж.
Значит,
|