|
Аналогично:
2. Какими должны быть векторы a, b , чтобы выполнялись соотношения: а) |a + b| = |a — b|; в) |a + b| = |a| + |b|?
Решение. а) Заметим, что |a + b|, |a — b| —длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b. Диагонали равны только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. Значит, |a + b| = |a — b| в том случае, если векторы a, b перпендикулярны.
б) Каждый из векторовимеет единичную длину. Они равны
только тогда, когда совпадают их направления. Так как ...,
то получаем, что ...
в) Сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон. Требуемое равенство достигается только в случае, если треугольник вырожденный, т. е. его стороны параллельны.
3. Проверить, что векторы образуют базис
на плоскости, разложить вектор по этому базису.
Решение. Координаты векторов e1, в2 непропорциональны.
Поэтому e1, e2 не коллинеарны, а значит — линейно независимы. На плоскости любые 2 линейно независимых вектора образуют базис. Поэтому e1, e2 — базис.
Разложить вектор X по базису e1, e2 означает: найти числа а, b такие,
что
x = ae1 + be2.
Или, в координатной форме,...
Получаем систему уравнений: по методу Крамера, находим:
|
