|
4. Является ли линейным пространством над полем R множество матриц вида ..., где а, b ∈ R, если операции сложения и умножения на
число заданы как обычные матричные действия?
Решение. Сумма матриц указанного вида уже не является матрицей
такого вида, поэтому сложение матриц не является алгебраической операцией на данном множестве, линейного пространства не получается.
5. Является ли линейным пространством над полем R множество строк ..., если сложение строк и умножение строки на число определяются поэлементно?
Решение. Сумма двух строк снова является строкой целых чисел. Сложение обладает всеми требуемыми свойствами. Однако умножение на действительное число может вывести из данного множества:
Поэтому рассматриваемое множество с такими операциями не образует линейного пространства.
6. Являются ли линейно зависимыми элементы x1 = (1,2,3), Х2 = (3, 5, 1), Х3 = (5, 9, Т) пространства R3?
Решение. По определению, линейная зависимость означает, что a1x1 + a2X2 + a3X3 = 0, где хотя бы одно из чисел ai не равно нулю. Запишем последнее равенство подробнее:
a1(1,2,3) + a2(3, 5, 1) + a3(5, 9, Т) = (0, 0, 0).
Как мы знаем, однородная система уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы строго меньше числа неизвестных. Подсчитаем ранг:
Ранг равен 2, а неизвестных 3. Поэтому существует ненулевое решение, т. е. элементы x1, Х2, Х3 линейно зависимы. Хотя это не требуется в условии задачи, мы найдём саму линейную зависимость. Для этого найдём какое-либо ненулевое решение системы уравнений. Придадим свободной
|
