|
Пример 6. Рассмотрим отображение g : R → R, возводящее каждое действительное число в квадрат: g(x) = x2. График g — это подмножество в декартовом произведении R х R = R2. С помощью декартовой системы координат каждую упорядоченную пару чисел (x, у) можно изобразить точкой на плоскости. Тогда график функции g(x) = x2, т. е. множество {(x,y) € R2|y = x2}, изображается параболой.
Рассмотрим свойства, которыми могут обладать отображения. Отображение f : A → B называется инъективным, если
Другими словами, инъективное отображение переводит разные элементы в разные:
Отображение f : A → B называется сюръективным (или отображением A на B), если
При сюръективном отображении любой элемент B является образом некоторого элемента a ∈ A. Отображение называется биективным, если оно является инъективным и сюръективным. При биективном отображении каждому b ∈ B соответствует определённый a ∈ A, поэтому используется двусторонняя стрелка:
f : A ↔ B.
В этом случае говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие.
Рассмотренное в примере 6 отображение g : R → R, возводящее каждое число в квадрат, не является инъективным, так как 32 = (—3)2 = 9. Не является g и сюръективным, так как отрицательные числа не могут быть квадратами действительных чисел.
В примере 5 отображение является сюръективным и не является инъективным, так как в любую окружность можно вписать много различных треугольников.
Пример 7. Пусть N = { 1, 2, 3, 4,... } — множество натуральных чисел, M = {2, 4, 6, 8,... } — множество чётных натуральных чисел. Рассмотрим отображение a : N → M, действующее по правилу: a(n) = 2n. Поэтому a инъективно. Любое чётное
|
