|
2. В ромбе ABCD обозначим диагонали: AC = a, BD = b. Выразить через a, b векторы, совпадающие со сторонами ромба: AB, BC, CD, DA.
3. Являются ли линейными подпространствами следующие подмножества в Rn:
а) {(xi,..., Xn) | Xi ∈ R, xi + X2 + ... + x„ = 0};
б) {(xi,..., x„) | xi ∈ R, xi + x2 + ... + xn = 1};
в) {(xi, . . . , xn) | xi ∈ R, xi < x2 < ... < xn} ?
4. Являются ли линейными подпространствами следующие подмножества в R2:
а) множество векторов, координаты которых равны между собой;
б) множество векторов, модули которых меньше 1;
в) множество векторов, у которых первая координата равна 0?
5. Разложить вектор с = 8i + 11j по базису, образованному векторами.
6. Разложить элемент x = (12,10, —2) по базису, образованному элементами e1 = (2, 3, —1), е2 = (4,1, 5), е3 = (0, 2, —2).
7. Найти линейную зависимость между элементами p1 = (— 1, 5, 4), Р2 = (4, 2, 4), Р3 = (8, —7, —2).
8. Являются ли линейно независимыми:
а) строки (2, —1, 0, 3), (3, 2,1,1) в пространстве R4?
б) пары (1, 3), (1, 1), (1, 7) в пространстве R2?
в) функции x, x2, x3 в пространстве функций F(x)?
9. В линейном пространстве R2 даны два базиса: e1 = (2,1), е2 = (—1,1) и f1 = (0,1), f2 = (2, 3). Найти матрицу перехода S от базиса f1, f2 к базису e1, е2. Найти координаты вектора x = e1 — е2 в базисе f1, f2.
10. Доказать, что тройка векторов u1 = (1,1,1), U2 = (2,1,1), u3 = (1,1,3) образует базис. Найти матрицу перехода S от этого базиса к базису v1 = (0,1,1), V2 = (1, 0,1), v3 = (1, 0, 2). Найти координаты вектора в базисе u1, U2, u3.
11. Найти координаты вектора x в базисе e1, е2, е3, если известно его разложение по базису
|
