Здесь dS = dSn, т.е. ориентация dS в пространстве задается с помощью единичного вектора n. Таким образом, направление вектора dS совпадает с направлением n внешней нормали к поверхности.
Подсчитаем поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q (рис. 1.2.7). Окружим заряд
q сферой S1.
Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен ...
В каждой точке поверхности S1 проекция E на направление внешней нормали одинакова и равна
...
Тогда поток через S1
...
Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2: ...
Из непрерывности линии E следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине:
... - теорема Гаусса для одного заряда. (1.2.3)
Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:
... - теорема Гаусса для нескольких зарядов. (1.2.4)
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.
При вычислении потока через замкнутую поверхность вектор нормали n следует считать направленным наружу. Линии E, выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создают положительный поток, линии же, входящие в объем, - отрицательный поток.
Если между нашими сферами расположить ещё одну поверхность S3, не охватывающую заряд, то, как видно из рис. 1.2.7, каждая линия напряженности E будет дважды пересекать эту поверхность:
|