Элементы комбинаторики Комбинаторика
– это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа
способов такого расположения. Комбинаторный
принцип умножения если одну часть действия можно выполнить Пример. Пусть требуется составить
набор из ручки, карандаша и линейки. Имеется: 5 различных ручек, 7 различных карандашей, 10 различных линеек. Сколькими
способами можно составить требуемый
набор? Решение. Действием в данном
случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие
распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать
карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью
способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью
способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью
способами. Тогда все действие можно выполнить Число способов. Т.е.
возможно 350 вариантов такого набора. Пример.
Сколько существует наборов длины Решение. Действием в данном
случае является составление набора длины из нулей и единиц. Набор
будет составлен, если все Тогда все действие согласно
комбинаторному принципу умножения можно выполнить Комбинаторный
принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, и
одно из них можно выполнить Пример. Выборкой объема Если элементы в выборке не повторяются, то выборка
называется бесповторной,
иначе – выборкой с повторениями
При бесповторной выборке все равно, каким образом
осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному). Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением
, при этом выборка называется упорядоченной,
в противном случае – неупорядоченной. Рассмотрим бесповторную выборку Расположение Например, на множестве из трех элементов Число различных перестановок без повторений из Сочетанием без повторений из Например, требуется подсчитать, сколькими способами
можно составить бригаду из трех человек для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку порядок
расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не
повторяются, то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без
повторений:
Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в
группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами. Размещением без повторений из Теорема. Число размещений без повторений из
Доказательство. Чтобы получить упорядоченное Свойства сочетаний без
повторений: 1) Доказательство.
Поскольку 2) Значения
Этот треугольник имеет вид: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6
4 1 1 5 10
10 5 1 1 6 15
20 15 6 1 1 7 21
35 35 21 7 1 1 8 28
56 70 56 28 8 1 Закономерность его построения такова: складывая две
рядом стоящие числа, получаем число, стоящее ниже между ними. Первая строчка –
значения числа сочетаний из 1 ( Рассмотрим выборку с повторениями Пусть имеется выборка из 1. Число различных перестановок
на элементах такой выборки равно:
2. Сочетание с повторениями из
3. Размещения с повторениями из
Пример. Сколько различных
4-буквенных слов можно составить из символов Решение. Другими
словами, требуется найти число перестановок с повторениями на 4 элементах выборки, в которой два элемента одинаковы: Пример. Сколько различных
перестановок можно составить из букв
слова АБАКАН? Решение. Требуется найти число перестановок на множестве из
6 элементов, среди которых три элемента одинаковы:
Верно обобщение
рассматриваемой формулы: число различных перестановок на множестве из
…
равно: Пример. Сколько перестановок можно
получить из букв слова КОЛОКОЛА? Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями
на множестве из 8 букв, среди которых: буква К повторяется 2 раза; буква О повторяется 3 раза; буква Л повторяется 2 раза буква А повторяется 1 раз. Таким образом, Пример. Сколькими способами можно
составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве
по 10 штук каждого вида? Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора
порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу
сочетаний с повторениями:
Пример. Сколькими способами можно
рассадить 7 человек по 9 вагонам? Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут
сесть несколько человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком
вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями: Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный
принцип умножения: действие – рассадить 7 человек распадается на 7 этапов: разместить первого пассажира, разместить второго пассажира,
…, разместить седьмого пассажира. Первый этап – размещение первого пассажира
можно выполнить 9 способами, второго пассажира тоже можно разместить 9 способами, и т.д. : Пример. Сколькими способами можно
рассадить 7 человек по 9 вагонам по одному в вагон? Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут
сесть только один человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком
вагоне находится, то используем формулу размещений без повторений: Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный
принцип умножения: действие – рассадить 7 человек распадается на 7 этапов: разместить первого пассажира, разместить второго пассажира,
…, разместить седьмого пассажира. Первый этап – размещение первого пассажира
можно выполнить 9 способами, второго пассажира тоже можно разместить 9 способами, и т.д. : Пример.
Сколько различных сигналов можно составить из четырех флажков различных цветов,
если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флажков? Решение. Составить сигнал
можно из двух флажков, из трех или из четырех. Перечисленные ситуации взаимно
исключают друг друга (два флажка – это не три и не четыре), поэтому вычислим, сколькими способами можно
составить сигнал в каждой из перечисленных ситуаций, и сложим полученные результаты. Действие – составить сигнал – означает выбрать
флажки из четырех и расположить их в определенном порядке. Таким образом, в
каждом случае нужно выполнить два этапа: первый - выбрать флажки, второй –
расположить выбранные флажки в определенном порядке. Составляем сигналы из двух флажков: выбрать два
флажка из четырех можно Составляем сигналы из трех флажков: выбрать три
флажка из четырех можно Составляем сигналы из четырех флажков: выбрать
четыре флажка из четырех можно Применим теперь комбинаторный принцип сложения:
всего существует Пример. Номер
автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно
составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв. Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10
цифр по 4 равно 10.000. Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно Если учесть возможность того,
что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна
возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по
две буквы равно 900. Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30
букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000
комбинаций. Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно
поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество
автомобильных номеров равно 270.000.000. © Е.Г. Hикифорова
К следующему разделу |