Различные определения вероятности случайного события

            Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.

            Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:

            Классическое определение вероятности случайного события.

 Вероятность события  равна отношению числа благоприятных событию  исходов опыта к общему числу исходов опыта.

,  где

 - число благоприятных исходов опыта;

 - общее число  исходов опыта.

            Исход опыта называется благоприятным для события, если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие  - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .

            Примеры.

1)     Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2)     Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3)     Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5

            Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1)            все исходы опыта должны быть равновероятными;

2)            опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,  при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример. Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)  к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

            Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

.

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области  случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части  этой области равна:

,  где

- обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

            Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

            Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый            приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси  отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси  - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке

Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»  нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми:  и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:

В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятым  в настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).

Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.

Относительной частотой появления случайного события  называется отношение числа   появлений события  в  испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

.

Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий  и  верно следующее:

.

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие  означает появление бубей, событие   означает появление червей, а событие  - появление карты красной масти. Очевидно, события  и  несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события  будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события  или возле события , т.е. .

 Назовем вероятностью случайного события  число, сопоставленное событию  по следующему правилу:

Для несовместных событий  и  

Итак,

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа.  Это свойство называется свойством устойчивости относительной частоты. Число, около которого группируются относительные частоты появления события при проведении большой сери опытов,   может быть принято за вероятность события.  Такой способ определения вероятности события называется  статистическим определением вероятности.

Например, Дж. Керрих, находясь в лагере во время второй мировой войны, провел 10 серий по 1000 опытов в каждой по бросанию монетки. Относительная частота выпадений герба была следующей:

,

что еще раз подтверждает, что вероятность выпадения герба при одном бросании монетки - .

            Кроме того, известно, что  .

Таким образом, статистическое определение вероятности лучше всех других отражает сущность понятия вероятности случайного события, однако, отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

© Е.Г. Hикифорова

К следующему разделу
К оглавлению