Теорема сложения вероятностей и ее
следствия Теорема (сложения вероятностей).
Вероятность
суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:
Доказательство. Очевидно:
Тогда
Поскольку события
События
События
Итак, Следствие
1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых: Следствие
2: Верно следующее обобщение формулы для
Определение. Событие А называется независимым
от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или
нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в
зависимости от того, произошло событие В или нет. Условная вероятность Наступление
события Определение. Вероятность
события
Пример.
Пусть событие Решение. Если на первом кубике
выпала 1, то возможными исходами опыта являются исходы Теорема умножения
вероятностей. Вероятность
произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое событие уже наступило: Доказательство.
Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных
равновероятных исходов. Пусть: ·
событие ·
событие ·
событие Вероятность
события
или
Следствие
1.
Обобщим теорему на случай трех событий: Следствие
2.
Обобщим теорему на случай
Пример. В группе 20 студентов. Из
них двое курят, 12 – в очках, 6 – курят и носят очки. Найти вероятность того,
что студент курит, если он носит очки. Решение. Пусть событие Тогда
Заметим, что условная и безусловная вероятности
события События
называются независимыми, если
появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: Если
события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:
В рассмотренном примере события
Пример.
Бросают три монетки и игральную кость. Событие Свойства независимых событий Теорема Если события 1) события 2) события 3) события Доказательство. 1) Поскольку события
Итак,
Поскольку
2) Поскольку события
Итак,
Поскольку 3) Если события Определение. События
Определение. События Независимость в совокупности и попарная
независимость событий – понятия разные. Пример. Три грани треугольной
пирамиды окрашены соответственно в
белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три
цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий:
Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о.
Т.е. все события попарно независимы. Однако события
не являются независимыми в совокупности: Теорема.
(О появлении хотя бы одного из независимых событий) Пусть
вероятность появления каждого из п
событий
Доказательство. Поскольку по закону Де Моргана
то
Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно
вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт
будет хотя бы одна бубновая карта. Решение.
Пусть событие Пример. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень
стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень
при одном выстреле. Если
обозначить р – вероятность попадания стрелком в мишень при одном
выстреле, то вероятность промаха при одном выстреле, очевидно, равна (1 – р). Вероятность
трех промахов из трех выстрелов равна (1 – р)3. Эта вероятность
равна 1 – 0,875 = 0,125, т.е. в цель не попадают ни одного раза. Получаем:
Пример. Чему равна вероятность того, что при бросании
трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? Решение. Вероятность
выпадения 6 очков при одном броске кости (событие Тогда
вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков, равна Пример. Один из трех стрелков
производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для
первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти
вероятность того, что в цель попадут два раза. Вероятность
того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна Вероятности
того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель,
равны: - для
первого стрелка: - для
второго стрелка: - для
третьего стрелка: Искомая
вероятность равна: Пример. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести
в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой
крючок два раза. Найти вероятности следующих событий: первый выстрел, вторая
осечка; первая осечка, второй выстрел, хотя бы одного выстрела, двух выстрелов,
двух осечек. Решение. Вероятность выстрела
при первом нажатии на курок в условиях задачи - Вероятность осечки при первом нажатии на курок в
условиях задачи равна Найдем вероятность события «осечка, выстрел».
Вероятность осечки при первом нажатии на курок Найдем вероятность события «выстрел, осечка».
Вероятность выстрела при первом нажатии на курок Найдем вероятность хотя бы одного
выстрела при двух нажатиях на курок (событие
Найдем вероятность события «осечка,
выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок Найдем
вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии
на курок
Эти
четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна
единице) Анализируя
полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна
сумме Теперь
рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок
барабан раскрутили и опять нажали на курок. Условные вероятности второго
выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив бойка может оказаться то
же гнездо, что и в первый раз. Вероятности
первого выстрела и первой осечки не изменились - Условная вероятность
выстрела при второй попытке - Условная
вероятность осечки во второй раз - Тогда:
В
этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна
Решение.
Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А,
вторым – событие В, промах первого стрелка – событие Вероятность
того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна Тот же результат можно
получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в
цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны: Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна: Пример. Вероятности того, что
нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике,
соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь
находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не
менее, чем в двух ящиках. Решение. а)
Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна Вероятность того, что нужная
деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она
не находится во всех четырех ящиках.
б) Вероятность
того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух
ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух
ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности
можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же
вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном
ящике и имеется вообще. Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна Вероятность того, что нужной
деталь нет ни в одном ящике, равна: Искомая вероятность равна Пример. Последовательно послано
четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того,
приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны
соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех
радиосигналов. Событие
приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях: Для приема трех сигналов
необходимо совершение одного из событий А, В, С или D. Таким
образом, находим искомую вероятность: © Е.Г. Hикифорова
К следующему разделу |