Теорема сложения вероятностей и ее следствия

            Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:

.

            Доказательство. Очевидно:

;

Тогда

.

Поскольку события  и  несовместны, то по аксиоме :

.

События  и  несовместны, и по аксиоме :

.

События и  несовместны, по  аксиоме :

.

Итак,

            Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

            Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых:

- формула включений и исключений.

            Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Условная вероятность

            Наступление события  может повлиять на вероятность появления события . Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события .

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события   и обозначается

.

            Пример. Пусть событие  - означает, что при бросании двух кубиков на первом выпала 1, а событие  - означает, что сумма очков, выпавших на двух костях больше 5.  Найти вероятность .

            Решение. Если на первом кубике выпала 1, то возможными исходами опыта являются исходы . Событию  при этом благоприятствуют исходы , т.е. два из 6, значит,

Теорема умножения вероятностей.

            Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

            Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.

Пусть:

·        событие  появилось в   исходах опыта;

·        событие  появилось в   исходах опыта;

·        событие  появилось в   исходах опыта.

Вероятность события  вычислим по классическому определению. Поскольку событие  произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом  из этих  возможных исходов  благоприятны событию  те исходы, которые составляют событие , т.е.  исходов:

,

или

.

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай  событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:

.

Пример. В группе 20 студентов. Из них двое курят, 12 – в очках, 6 – курят и носят очки. Найти вероятность того, что студент курит, если он носит очки.

Решение. Пусть событие  - студент курит;  - студент носит очки.

Тогда

.

Заметим, что условная и безусловная вероятности события  в данной задаче различны:.

            События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: .

            Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:

- критерий независимости событий.

В рассмотренном примере события  и  - зависимы, поскольку

.

            Пример. Бросают три монетки и игральную кость. Событие  - выпал герб, событие  - выпало число очков, равное 6. Пространством элементарных исходов опыта является множество . Тогда , , . Таким образом, , т.е. события  и  - независимы.

Свойства независимых событий

Теорема

Если события  и  независимы, то:

1)     события  и  независимы;

2)     события  и  независимы;

3)     события  и  независимы.

Доказательство. 1)

Поскольку события  и  независимы, то:

.

Итак,

.

Поскольку , то , что свидетельствует о независимости событий  и .

2)

Поскольку события  и  независимы, то:

.

Итак,

.

Поскольку , то , что свидетельствует о независимости событий  и .

3) Если события  и  независимы, то по 2) события  и  независимы; и по 1)  и  независимы.

Определение. События  независимы в совокупности, если 

.

Определение. События  попарно независимы, если в любой паре  события  и  независимы.

Независимость в совокупности и попарная независимость событий – понятия разные.

Пример. Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в  белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий: =«на грани есть желтый цвет»;

   =«на грани есть белый цвет»;

=«на грани есть зеленый цвет»;

Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. ; аналогично: .  Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , т.е. . Таким образом,

,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

            Теорема. (О появлении хотя бы одного из независимых событий)

            Пусть вероятность появления каждого из  п событий , независимых в совокупности, равна. Вероятность появления хотя бы одного события,  равна

,

Доказательство. Поскольку по закону Де Моргана

,

то

.

            Пример.  Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта.

            Решение. Пусть событие  означает «среди четырех вынутых карт есть хотя бы одна бубновая карта». Тогда . Событие  означает, что все четыре карты не бубновой масти. Вероятность того, что случайно взятая из колоды карта не бубновая -   и , тогда , 

Пример. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

            Если обозначить р – вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле, то вероятность промаха при одном выстреле, очевидно, равна (1 – р).

            Вероятность трех промахов из трех выстрелов равна (1 – р)³. Эта вероятность равна 1 – 0,875 = 0,125, т.е. в цель не попадают ни одного раза.

            Получаем:

            Пример.  Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

            Решение.

            Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости (событие ) равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков (событие ) - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна .

            Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков, равна .

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

            Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

            Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

            - для первого стрелка:

            - для второго стрелка:

            - для третьего стрелка:

            Искомая вероятность равна:

Пример. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности следующих событий: первый выстрел, вторая осечка; первая осечка, второй выстрел, хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.

            Решение. Вероятность выстрела при первом нажатии на курок в условиях задачи - . Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет выстрел, если первым был выстрел, - , поскольку неизрасходованных патронов осталось 3, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных выстрелов

Вероятность осечки при первом нажатии на курок в условиях задачи равна .  Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет осечка, если первой была осечка,  - , поскольку пустых гнезд осталось одно, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных осечек  .

Найдем вероятность события «осечка, выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок ,  неиспользованных патронов  остается  - 4 , а всего возможных гнезд  – 5, т.о. вероятность выстрела при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок была осечка, - . Тогда вероятность события «осечка, выстрел» - .

Найдем вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии на курок ,  пустых гнезд остается  - 2 , а всего гнезд – 5, т.о. вероятность осечки при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок был выстрел, - . Тогда вероятность события «выстрел, осечка» - .

            Найдем вероятность хотя бы одного выстрела при двух нажатиях на курок (событие ) . Противоположным событием является событие «ни одного выстрела при двух нажатиях на курок», т.е. две осечки. Тогда равна

.

            Найдем вероятность события «осечка, выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок ,  неиспользованных патронов  остается  - 4 , а всего возможных гнезд  – 5, т.о. вероятность выстрела при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок была осечка, - . Тогда вероятность события «осечка, выстрел» - .

Найдем вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии на курок ,  пустых гнезд остается  - 2 , а всего гнезд – 5, т.о. вероятность осечки при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок был выстрел, - . Тогда вероятность события «выстрел, осечка» - .

 - два выстрела подряд

 - первая осечка, второй  выстрел

 - первый выстрел, вторая осечка

 - две осечки подряд

            Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

            Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме  или

            Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок. Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив бойка может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.

            Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - ,  

Условная вероятность выстрела при второй попытке -  если в первый раз был выстрел,  - если в первый раз произошла осечка.

            Условная вероятность осечки во второй раз - , если в первый раз произошел выстрел,  - если была осечка.

            Тогда:

 - два выстрела подряд

 - первая осечка, второй  выстрел

 - первый выстрел, вторая осечка

 - две осечки подряд

            В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна

 или

Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных случаев.

            Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

            Решение. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие .

            Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

            Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

            Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

            Пример. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.

            Решение.

            а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна

Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках.

.

            б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще.

            Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна

            Вероятность того, что нужной деталь нет ни в одном ящике, равна:

            Искомая вероятность равна

Пример. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

            Событие приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях:

            Для приема трех сигналов необходимо совершение одного из событий А, В, С или D. Таким образом, находим искомую вероятность:

© Е.Г. Hикифорова

К следующему разделу
К оглавлению